Matematikai szigor

Arisztotelész , a logika megalapozója

A matematikai szigorúság (kissé eltérő kontextusban, gyakran a matematikai pontosság ) egyértelmű logikai megközelítés a megértett matematikán és másokon alapuló tudományain belül. Magában foglalja egyrészt a szigorú meghatározásokon alapuló axiomatikus megközelítést , másrészt meggyőző bizonyítékokat . A szisztematikus dedukció módszerét is keresik. Ennek következtében, matematikai tételek vannak elvileg végleges és egyetemes igazság, hogy a matematika lehet tekinteni, mint az egzakt tudomány. A matematikai szigor nem öncél, hanem szükséges eszköz a matematika tartós fejlődéséhez. Ez görög értelemben is jó gondolatmenet . Ezt követően a matematikai szigor a matematikai szempontok egyszerűsítését is eredményezi.

sztori

Az Euclid képviselete, az Oxfordi Egyetemi Múzeum
Augustin Louis Cauchy
Carl Friedrich Gauss
Karl Weierstrasse
David Hilbert (1912)

Már a görög matematika megtalálható különösen Euclid az ő elemei (a végén a 4. században. V. Chr.) Első próbálkozások matematikai szigor axiomatizálása és rendszeres matematikai levezetés. Az ókorban azonban a matematika kevésbé szigorú kezelését részesítették előnyben, mint az euklideszi. Az is világos volt, hogy a matematikai szigor elve nem alkalmazható minden tudományra . Így írja Arisztotelész: "A matematikai szigor nem mindenben szól, hanem valószínűleg a nem anyagi szempontból." Hosszú stagnálás után a 17. században megkezdődött a matematikai tudományok újjáélesztése analitikai geometriával és számítással . Az axiomatika és a szisztematikus dedukció görög ideálja azonban akadályt jelentett a kor produktív matematikusainak. Az eredmények nagyobb szerepet játszottak, mint az oda vezető út. Erős intuitív érzés és az újonnan feltalált módszerek erejének szinte vak meggyőződése indokolta ezt a megközelítést. A kezdeti iparosodás kora ezt a formát még jobban támogatta. Ezzel az önbizalommal Sylvestre Lacroix 1810-ben azt mondta : "Már nincs szükségünk olyan finomságokra, amelyekkel a görögök kínozták magukat."

Csak a 19. század elején váltotta fel a haladásban gyorsan növekvő hitet egy újonnan ébredő önkritika. Felmerült az eredmények és az egyértelműség igénye. Ezt a folyamatot a tudományos források népszerűsítése támogatta a francia forradalom után .

A Aritmetikai által Carl Friedrich Gauss kell tekinteni az egyik első példa munkái matematikai szigor. Teljesen a tétel - bizonyítás - következmény stílusában van megírva , nem motiválja a vett bizonyítékokat, és gondosan elrejti azt a módot, ahogyan Gauss felfedezéséhez jutott. Az utolsó szempont azonban részben a matematikai szigor követelményén alapul, és nem Gauss különös furfangján. Ez összefügg az alábbiakban tárgyalt abszolút " elbocsátástól való mentesség " követelésével .

Augustin Louis Cauchy és Karl Weierstrass munkájának köszönhetően különösen a végtelenül kis számológépet helyezték biztonságos és szigorú alapokra. A 19. századot tehát a klasszikus precizitás- eszmény és az érvelés szigorúságának sikeres elmélkedése jellemezte , amellyel a görög tudomány példáját még felül is múlta. Már Cauchy előtt Bernard Bolzano 1817-ben jelentősen hozzájárult az elemzés szigorú kezeléséhez a Tétel pusztán analitikai bizonyítékával című művel, miszerint két, ellentétes eredményt adó érték között az egyenletnek legalább egy valódi gyökere van .

Idézetek

A hatalmas sokoldalúsággal kombinált matematikai szigor egyik fő szószólója David Hilbert volt . 1900-ban Párizsban, a matematikusok nemzetközi kongresszusán fogalmazott :

„Röviden megvitatjuk, milyen igazolható általános követelményeket kell támasztani egy matematikai probléma megoldásával szemben: mindenekelőtt azt értem, hogy a válasz helyességét véges számú következtetéssel, véges számú A problémában rejlő előfeltételek, amelyeket minden alkalommal pontosan meg kell fogalmazni. A véges számú következtetés alapján történő logikai dedukciónak ez a követelménye nem más, mint az érvelés szigorúságának követelménye. Valójában a szigorúság követelménye, amely, mint közismert, közmondásossá vált a matematikában, megfelel megértésünk általános filozófiai igényének, másrészt csak annak teljesítésével valósul meg teljes mértékben a szellemi tartalom és a probléma gyümölcsözősége. Új probléma, különösen, ha a külvilágból származik, olyan, mint egy fiatal rizs, amely csak akkor virágzik és terem gyümölcsöt, ha gondosan és a kertész szigorú szabályai szerint oltják be a régi törzsre, matematikai ismereteink biztonságos birtoklására válik.
Továbbá téves azt hinni, hogy az érvelés szigorúsága az egyszerűség ellensége. Éppen ellenkezőleg, számos példában megerősítést találunk arra vonatkozóan, hogy a szigorú módszer egyszerre egyszerűbb és könnyebben megfogható. A súlyosságra való törekvés arra kényszerít, hogy egyszerűbb következtetési módokat találjunk; gyakran utat nyit olyan módszerek előtt is, amelyek képesek fejleszteni, mint a régi, kevésbé szigorú módszerek. "

Alekszandr Danilovics Alekszandrov azt mondta:

„Erkölcsileg a matematika arra tanít bennünket, hogy szigorúan viszonyuljunk az állítólagos igazsághoz, az érveléshez vagy az igazoláshoz. A matematika megköveteli a kifejezések és állítások egyértelműségét, és nem tolerálja a ködöt vagy a bizonyíthatatlan magyarázatokat. "

Az elbocsátás szabadsága

Carl Friedrich Gauß fent jelzett személyes jellemzőit kvázi " internalizálták " a matematikusok a redundanciától való mentesség implicit vagy kifejezett elvének elvén keresztül : Minden felesleges állítást meg kell szüntetni, és az elmondottak megértését az olvasóra kell bízni (tényszerűség és fontosság) biztosítani). Egy tipikus matematikai munkában a mondatmegállapítások mellett az előfeltételek és a bizonyítási lépések megvalósítása a legjobb esetben a következő típusú igazolásokra van szükség: "Ez az eredmény azért fontos, mert ...", hogy az egyes állítások legalább a megfelelő kontextusba kerüljenek. Ez a „redundanciától való mentesség” elve hasznos vagy szükséges a matematikai szigor megvalósításához, és megtiltja a személyesen színes kiegészítéseket, mint „felesleges és u. U. még árt is az ügynek ”, ugyanakkor sok matematikai állítás érthetőségének egyik legnagyobb akadálya, vagy általában a„ matematikai stílus ”gyakran sajnálkozhatatlan érthetetlenségének fő oka lemmáival , tételeivel és következményeivel, ideértve sokuk átláthatóságának hiányát is. Bizonyíték .

A Bourbaisták

A „matematikai stílus” különösen hangsúlyos és egyre elvontabb volt a Nicolas Bourbaki fedőnév alatt megjelent művekben, kiterjedt kézikönyvek, a kiváló francia matematikusok csoportja, akik 1934-től a matematika átfogó bemutatására törekedtek. E szerzőkollektíva évtizedes domináns befolyása után azonban a szigor és az absztrakció növekvő tendenciája nyilvánvalóan csökkenőben van.

Lásd még

irodalom

web Linkek

Egyéni bizonyíték

  1. ↑ Arisztotelész. Bibl. Didotiana, 10. évf., Aristotelis Opera II. De Gruyter, Berlin 1970, 488. o.
  2. ↑ Heuser, 689. o
  3. ^ David Hilbert: Matematikai problémák . ( Az eredeti emléke 2012. január 19-től az Internetes Archívumban ) Információ: Az archív linket automatikusan beillesztették, és még nem ellenőrizték. Kérjük, ellenőrizze az eredeti és az archív linket az utasításoknak megfelelően, majd távolítsa el ezt az értesítést. Előadás, megjelent: Matematikai problémák. 1900-ban Párizsban, a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusán tartott előadás , Hírek a Göttingeni Tudományos Társaságtól, matematikai-fizikai osztály. 3. szám, 253-297 @ 1@ 2Sablon: Webachiv / IABot / www.mathematik.uni-bielefeld.de
  4. ^ Heiner Stauff: Matematikai szigor .